Bonjour je bloque à cette exercice si quelqu’un pourrait m’aider merci d’avance

Bonjour,

Une suite vn est géométrique si il existe un réel q tel que :

vn+1 = qvn

Ici, on a vn+1 = [tex]\frac{3^{2(n+1)}}{5^{n+3}} = \frac{3^{2} * 3^{2n}}{5*5^{n+2}} = \frac{9}{5} vn[/tex]

Donc vn est géométrique de raison 9/5. Et 9/5 = 1.8

2.  Le terme général de vn est donc vn = v0 * (9/5)^n

Or v0 = [tex]\frac{3^{2*0}}{5^{0+2}} = \frac{1}{25}[/tex]

Donc on a bien pour tout entier naturel n :

vn = [tex]\frac{1}{25} * 1.8^n[/tex]

3. On calcule vn+1 / vn = [tex]\frac{\frac{1}{25} * 1.8^{n+1}}{\frac{1}{25} * 1.8^{n}} = 1.8[/tex] > 1

Donc (vn) est croissante.

4. Il y a une erreur dans l'égalité car ∑ vk pour k allant de 0 à 15 devrait valloir v0 + v1 + .... + v15 et non v1 + ... + v15

On va considérer ∑ vk = v0 + v1 + .... + v15 dans la suite

La somme des termes d'une suite géométrique est données par la formule :

[tex]premier terme *\frac{1- raison^{nbtermes}}{1 - raison}[/tex]

Ici premier terme = v0 = 1/25

Raison = 1.8

nombres de termes = 16

Donc la somme vaut :

[tex]\frac{1}{25} * \frac{1 - 1.8^{16}}{1-1.8}[/tex], ce qui vaut 607.15 (au centième près)