A(2; 3; -1), B(-2;5; 4), C(5;1; 6) et D(2;1; 4) sont des points de l'espace muni d'un repère. a. Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ? b. Les droites

Réponse:

A(2; 3; -1), B(-2;5; 4), C(5;1; 6) et

D(2;1; 4) sont des points de l'espace muni d'un repère.

a. Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?

D'après le cours , si une droite (d) a pour équation cartésienne ax + by + c = 0

alors →u ( a ;b ) est un vecteur normal de ( d ) .

on détermine les coordonnées d'un vecteur →u ( x ; y) normal à ( d ) et d'un vecteur →v ( x' ; y' ) normal à ( d' ).

Deux vecteurs →u ( x ; y) et →v ( x' ; y') sont colinéaires si et seulement si x'y - x'y = 0

en utilisant cette formule on démontre que les vecteurs →u et →v sont colinéaires et donc les droites ( d ) et ( d' ) sont parallèles.

Ceci ce fait uniquement dans le plan

mais dans ton exercice nous sommes en dimension 3 donc dans l'espace et la propriété est la suivante :

soit ( P1 ) : ax + by + cz + d = 0 avc →n son vecteur normal et

( P2 ) : ax' + by' + cz' + d' = 0 avec →n' son vecteur normal

( P1 ) et ( P2 ) sont parallèles ssi →n ^ →n' =→0

et ( P1 ) et ( P2 ) sont devants ssi →n ^ →n' ≠ →0

Application:

→AB( xB - xA ; yB - yA ; zB - zA)

==> →AB (-2-2 ; 5-3 ; 4-(-1) )

==> →AB (-4; 2 ; 5 )

et →CD( xD - xC ; yD - yC ; zD - zC)

==> →CD ( 2-5 ; 1-1 ; 4-6)

==> →CD( -3; 0; -2)

→AB^→CD==> (-4; 2 ; 5 ) ^ ( -3; 0; -2)

==> |2 0| →i + |5 2| →j + |-4 -3| →k

5 2 -4 -3 2 0

==>( 2×2 -5×0) →i + ( -3×5 - (-4)×2) →j + (0×(-4) -2×(-3)) →k

==> 4→i + (-15 + 8) →j + 6→k

==> 4→i - 7→j + 6→k ≠ →0 donc →AB^→CD≠0

donc ( AB) et (CD ) ne sont pas parallèles.

b. Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ?

oui elles sont sécantes car →AB^→CD≠0

j'espère t'avoir aidé

Explications étape par étape:

^ est le appelé vectoriel