3) Soit P(x) = x3 - 3x2 + 2x + 4 - 2V2 a) Montrer que P(x) est divisible par (x - 2) b) Déterminer les nombres a et b sachant que pour tout x ER, P(x) = (x - 2)

Réponse :

J'ai pris note de ta correction; il n'y a rien de compliqué mais attention aux erreurs de calcul. Je pense que tu connais la résolution de l'équation du 2d degré via "delta"

Explications étape par étape :

a) P(x) est divisible par (x-2) si P(2)=0

P(2)=8-12+2V2+4-2V2=0

b) Donc P(x) =(x-2)(ax²+bx+c)  on va rechercher les coefficients "a", "b" et "c" par identification  (ou comparaison)

P(x)=ax³+bx²+cx-2ax²-2bx-2c=ax³+(b-2a)x²+(c-2b)x-2c

en  comparant ave l'expression initiale on note que  a=1; -2c=4-2V2  c=-2+V2

b-2a=-3 comme a=1, b=-1

conclusion :P(x)=(x-2)(x²-x-2+V2)

c) Il faut résoudre x²-x-2+V2=0

delta=1-4(-2+V2)=9-4V2 cette valeur est>0 donc 2 solutions

x1=[1-V(9-4V2]/2  et x2=[1+V(9-4V2)]/2

la factorisation de p(x) est P(x)= (x-2)(x-x1)(x-x2) remplace x1 et x2 par les valeurs ci dessus .

On note que x1 est <0 et que x2 est>0 ceci pour la question suivante.

d)  xVx-3x+xV2+4-2V2

On pose Vx=X  ce qui donne

X³-3X²+(V2)X+4-2V2=0

les solutions de cette équation sont X1=[1-V(9-4V2)]/2  et X2=[1+V(9-4V)]/2

les solutions de l'équation initiale sont donc

x=+ou- V(X1 ) impossible car X1<0

Il reste donc deux solutions

x1=-V(X2) et x2=+V(X2)