(un) est la suite définie par Un=10 et pour tout entier naturel n, Un+1=1/2Un+1 Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n Un>un+1 ou egal. En déduir

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape :

U₀=10

P (n) : 1/2Un+1

I - Initialisation :

n = 0 ; P(0) : 1/2 x U₀+1 = 1/2 x 10 + 1 = 6, vrai, donc P(0) est vraie

II - Hérédité :

On suppose que P(n) : 1/2Un + 1 est vraie pour un n fixé

On va montrer que P(n+1) : 1/2 x Un ₊ ₁ +1 est vraie aussi

D'après l'Hypothèse de récurrence : 1/2 Un + 1 > 1/2 Un ₊ ₁ + 1

car Un ₊ ₁ < Un ou Un > Un ₊ ₁

La suite semble décroissante car le terme suivant est plus petit que celui au premier rang. Un > Un ₊ ₁

Bonne journée