Bonjour J’ai un DM à rendre pour demain quelqu’un pourriez m’aider ( exo 2 ou 3 ou 4 ou 5) s’il vous plaît Merci d’avance

Réponse :

ex2

{U0 = 3

{∀n∈N,  Un+1 = 10/(4+Un)

Montrer que pour tout n ∈ N ;     1 ≤ Un ≤ 3

on utilise le raisonnement par récurrence

* initialisation :  vérifions que pour n = 0  ; P(0) est vraie

                       1 ≤ U0 ≤ 3   or U0 = 3  donc  P(0) est vraie

* hérédité :  supposons qu'au rang  n   P(n) est vraie  ⇔ 1 ≤ Un ≤ 3

et montrons que  P(n+1) est vraie

  1 ≤ Un ≤ 3   ⇔ 1 + 4 ≤ 4 + Un ≤ 3 + 4   ⇔ 5 ≤ 4 + Un ≤ 7

⇔ 1/5 ≥ 1/(4+Un) ≥ 1/7  ⇔ 1/7 ≤ 1/(4+Un) ≤ 1/5   ⇔ 10/7 ≤ 10/(4+Un) ≤ 10/5

⇔ 0 ≤ 10/7 ≤ 10/(4+Un) ≤ 2 ≤ 3   donc   0 ≤ 10/(4+Un) ≤ 3

⇔ 0 ≤ Un+1 ≤ 3   donc  P(n+1) est vraie

* conclusion :  P(0) est vraie au rang  n = 0  et elle est héréditaire au rang n; donc  P(n) est vraie  pour tout n ∈ N

Explications étape par étape :