Bonjour, pouvez vous m'aider pour l'exercice 2 svp

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

2) c).

On a donc :

f(x)=ax³+x²(b-a)+x(c-b)-c

et

f(x)=2x³+x²-5x+2

Par identification :

a=2

b-a=1 ==>b-2=1 ==>b=3

c-b=-5 ==>c-3=-5 ==>c=-2

-c=2 ==>c=-2

d)

Donc :

f(x)=(x-1)(2x²+3x-2)

On résout :

2x²+3x-2=0

Δ=b²-4ac=3²-4(2)(-2)=25

√25=5

x1=(-3-5)/4=-2

x2=(-3+5)/4=1/2

S={-2;1/2;1)

Voir graph pour contrôle en noir.

e)

x=-1 est racine car :

f(-1)=-(-1)³+7(-1)²-7(-1)-15=1+7+7-15=0

On peut mettre (x-(-1)) soit (x+1) en facteur.

f(x)=(x+1)(ax²+bx+c)

On développe :

f(x)=ax³+x²(b+a)+x(c+b)+c

Par identification avec : f(x)=-x³+7x²-7x-15  :

a=-1

b+a=7 ==>b-1=7 ==>b=8

c+b=-7 ==>c+8=-7 ==>c=-15

c=-15

Donc :

f(x)=(x+1)(-x²+8x-15)

On résout :

-x²+8x-15=0

Δ=8²-4(-1)(-15)=4

√4=2

x1=(-8-2)/-2=5

x2=(-8+2)/-2=3

S={-1;3;5}

Graph contrôle en rouge.

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour

1)

cas général

f(x) = a x³ + b x² + c x + d

avec a ≠0 et b, c, d des réels

soit α un réel

f(x) - f(α)  = a x³ + b x² + c x + d - (a α³ + b α² + c α + d )

f(x) - f(α)= a x³ + b x² + c x + d - a α³ - b α² - c α - d

je rassemble les termes correspondants

f(x) - f(α)= a (x³ - α³) + b (x²- α²) + c ( x - α)

b)

pour tout réel x ,

( x - α)(x² - α x + α²) = x³ - a x² + α² x - a x² - a² x - a³

( x - α)(x² - α x + α²) = x³ - α³

c)

f(x) - f(α)= a (x³ - α³) + b (x²- α²) + c ( x - α)

f(x) - f(α)= a ( x - α)(x² - α x + α²)  + b (x²- α²) + c ( x - α)

f(x) - f(α)= a ( x - α)(x² - α x + α²)  + b (x- α)(x + α) + c ( x - α)

f(x) - f(α)= a ( x - α)(x² - α x + α²)  + b (x- α)(x + α) + c ( x - α)

f(x) - f(α)=  ( x - α) (   a (x² - α x + α²)  + b (x + α) + c)

f(x) - f(α)=  ( x - α) (   a x² - α² x + a α²)  + b (x + α) + c)

si α est racine de f(x) alors f(α) = 0

donc f(x) - 0 =  ( x - α) (   a x² - α² x + a α²  + b (x + α) + c)

donc f(x) = ( x - α) (   a x² - α² x + a α²  + b (x + α) + c)

donc f(x) peut se factoriser par x - α pour tout réel x

f(x) = 2x³ + x² - 5x + 2

a)

Les racines évidentes son souvent 1, - 1, 2, -2

testons x = 1

f(1) = 2(1)³ + (1)² - 5(1) + 2 = 2 + 1 - 5 + 2 = 3 - 5 + 2 = 0

1 est bien une racine évidente car f(1) = 0

b)

Comme 1 est une racine évidente, alors f(x) peut s'écrire (x - 1) (a x² + b x +c) ou a ,b et c sont des réels

c)

f(x) = 2x³ + x² - 5x + 2 = (x - 1) (a x² + b x +c)

2x³ + x² - 5x + 2 = a x³ + b x² + c x - a x² - b x - c

ensuite on met les coefficients correspondants ensemble,

2x³ + 1 × x² - 5x + 2 = a x³ + (b - a) x² + (c - b) x  - c

ensuite par identification des coefficients (ici en gras) , nous avons

2 = a

1 = b - a

c - b = - 5

2 = - c

Nous avons donc

a = 2

1 = b - 2⇒ b = 1 + 2 =3⇒ b = 3

c = - 2

donc on vérifie c - b = - 3 - 3 = - 5

donc f(x) =  2x³ + x² - 5x + 2 = (x - 1) (2 x² + 3 x - 2)

d)

f(x) = 0 ⇒ (x - 1) (2 x² + 3 x - 2) = 0

soit x - 1 = 0 ou 2x² + 3x - 2 =0

soit x = 1 ou 2x² + 3x - 2 = 0

2x² + 3x - 2 = 0

calculons le discriminant Δ = b² - 4 ac

avec a = 2, b = 3 et c = - 2

Δ = (3)² - 4(2)(- 2)

Δ = 9 + 16

Δ= 25 > 0 et √Δ = √25 = 5

donc l'équation 2x² + 3x - 2 = 0 admet deux solutions

x₁= ( - b - √Δ) / (2a) et  x₂= ( - b + √Δ) / (2a)

avec a = 2, b = 3 et c = - 2

x₁ = ( - (3) - 5) / (2(2)) et x₂ = ( - (3) + 5) / (2(2))

x₁ = ( - 3 - 5) / 4 et  x₂= ( - 3 + 5) / 4

x₁ =  ( - 8) / 4 et x₂= 2/4

x₁ = - 2 et x₂= 1/2

2x² + 3x - 2 = 0 peut s'écrire a (x - x₁) (x - x₂) = 2 (x + 2) (x - 1/2)

donc  (x - 1) (2 x² + 3 x - 2) = 0 ⇒ 2 (x - 1) (x + 2) (x - 1/2)

soit x= 1 ou x = - 2 ou x = 1/2

S = { - 2; 1/2;1}

e) dans R

-x³ + 7x² - 7x - 15 = 0

recherchons une racine évidente

f(-1) = -(-1)³ + 7(-1)² - 7(-1) - 15 =  1 + 7 + 7 - 15 =0

- 1 est une racine évidente donc

-x³ + 7x² - 7x - 15  peut s'écrire de la forme ( x + 1) (a x² + b x + c) avec a , b , c des réels

- x³ + 7x² - 7x - 15 = ( x + 1) (a x² + b x + c)

- x³ + 7x² - 7x - 15 = a x³ + b x² + c x  + a x² + b x + c

- x³ + 7x² - 7x - 15 = a x³ + (b + a) x² + (c + b) x  + c

Par identification des coefficients , nous avons

- 1 = a

7 = b + a

- 7 = c + b

- 15 = c

donc nous avons

a = - 1

7 = b - 1⇒ b = 7 + 1 ⇒ b = 8

- 15 = c

donc c + b = - 15 + 8 = - 7

donc a = - 1, b = 8 et c = - 15

- x³ + 7x² - 7x - 15 = ( x + 1) ( - x² + 8 x - 15)

- x³ + 7x² - 7x - 15 = 0 si  ( x + 1) ( - x² + 8 x - 15) = 0

soit x + 1 = 0 ou  - x² + 8x - 15 = 0

soit x = - 1 ou - x² + 8x - 15 = 0

- x² + 8x - 15 = 0

calculons le discriminant Δ = b² - 4 ac

avec a = - 1, b = 8 et c = - 15

Δ = (8)² - 4(-1)(- 15)

Δ = 64 - 60

Δ= 4 > 0 et √Δ = √4 = 2

donc l'équation - x² + 8x - 15 = 0 admet deux solutions

x₁= ( - b - √Δ) / (2a) et  x₂= ( - b + √Δ) / (2a)

avec a = - 1, b = 8 et c = - 15

x₁ = ( - (8) - 2) / (2(-1)) et x₂ = ( - (8) + 2) / (2(-1))

x₁ = ( - 8 - 2) / ( -2) et  x₂= ( - 8 + 2) / (-2)

x₁ =  ( - 10) / (-2) et x₂= (-6)/(-2)

x₁ = 5 et x₂= 3

donc les solutions sont S = { - 1;3 ;5}