Voilà . Ce devoir porte sur les fonctions Lipschitzienne !

On va déjà faire les deux premières et on laisse la 3ème pour demain
1)
f(x)=x
f(y)=y
 f(x)-f(y)=x-y
donc abs(f(x)-f(y))=abs(x-y)
donc abs(f(x)-f(y))≤1*abs(x-y)
donc f est Lipsatchoumienne
2)
0≤x≤2
0≤y≤2
donc 0≤x+y≤4
x+y>0 donc x+y=abs(x+y)
donc 0≤abs(x+y)≤4
x²-y²=(x+y)(x-y)
abs(x²-y²)=abs(x+y)*abs(x-y)
on a vu que abs(x+y)≤4
on multiplie par abs(x-y) chaque membre de la dernière inégalité(car abs(x-y)≥0)
ça donne: abs(x-y)*abs(x+y)≤4*abs(x-y)
on a vu que abs(x²-y²)=abs(x+y)*abs(x-y)
donc abs(x²-y²)≤4*abs(x-y)
donc la fonction carrée est Lipschitzintzintchounienne sur 0,2