Bonjour , je suis bloqué sur la question B de cet exercice. J’aimerai beaucoup qu’on m’explique Merci d’avance

Réponse :

b) montrer par récurrence que pour tout entier n ∈ N ,   0 < Un < 1

* initialisation : vérifions que pour n = 0 ; P(0) est vraie

                           0 < U0 < 1   or U0 = 0.5   donc 0 < 0.5 < 1  ⇒ P(0) est vraie

* hérédité :  supposons qu'au rang n ; P(n) est vrais  ⇔ 0 < Un < 1

et montrons que P(n+1) est vraie

          0 < Un < 1  ⇔  2 x 0 < 2Un < 2 x 1  ⇔ 0 < 2Un < 2

          0 < Un < 1  ⇔  0 < U²n < 1²               ⇔ 0 < U²n < 1

                                                                     ...................................

                                                                          0 < 2Un - U²n < 2 - 1

⇔ 0 < 2Un - U²n < 1   ⇔  0 < Un(2 - Un) < 1   ⇔ 0 < Un+1 < 1

donc P(n+1) est vraie

* conclusion :  comme la propriété est vraie au rang  n = 0

                       est que l'héréditaire est vraie, donc P(n) est vraie pour tout entier naturel n ≥ 0    

Explications étape par étape :