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Question

S’il vous plaît aidez moi, c’est pour un dm de demain et je ne comprends rien du tout
(Cn) est la suite définie pour tout entier naturel n > ou égal 1 par Cn= 2**n/n.
a) Tabuler la suite (n) à l'écran de la calculatrice et
conjecturer sa limite.
b) Démontrer que, pour tout entier naturel n > ou égal 4,
n**2-2n - 10.
c) En déduire que, pour tout entier naturel n > ou égal 4,
2n**2 > ou égal (n + 1)**2
d) Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence
que pour tout entier naturel n > ou égal 4, 2**n > ou égal n**2
e) En déduire que pour tout entier naturel n > ou égal 4,Cn> ou égal n.
f) Démontrer la conjecture émise à la question a.
S’il vous plaît aidez moi, c’est pour un dm de demain et je ne comprends rien du tout (Cn) est la suite définie pour tout entier naturel n > ou égal 1 par Cn= 2

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1 Réponse

  • Réponse :

    Explications étape par étape :

    a) avec la calculatrice

    b)n**2 -2n -1=(n -1)**2 -1 -1=(n -1)**2 - 2  or n>4 donc n-1 >3  (n-1) est positif donc (n - 1)**2> 9 >2     alors n**2 - 2n -1>0

    c)n**2 - 2n -1>0   on remplace n**2 par 2n**2 - n**2

    2n**2 -n**2 -2n -1 >0

    2n**2> n**2 + 2n + 1     or n**2 + 2n +1=(n +1)**2

    2n**2>( n+ 1)**2

    d) les 3 étapes du raisonnement par récurrence

    e)  2**n>=n**2  on divise par n positif les 2 membres

        2**n/n>= n**2/n   soit 2**n/n>=n or 2**n/n=Cn   donc Cn>=n

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