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Question

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour cet exercice s'il vous plaît !
On donne le motif suivant généré étape par étape.
Ce motif est le triangle de Sierpinski. Pour tout entier n 1, on note Tn le nombre de triangles grises du motif de l'étape n.
1) Déterminer les valeurs de T1, T2, T3 et T4.
2) Quelle est la valeur de Ts.
3) Déterminer la relation de récurrence que vérifie la suite (In).
4) Déterminer la formule explicite de la suite (Tn).
5) Combien de triangles grisés figurent sur le motif de l'étape 20 ?
Merci beaucoup d'avance !​
Bonjour, j'ai besoin d'aide pour cet exercice s'il vous plaît ! On donne le motif suivant généré étape par étape. Ce motif est le triangle de Sierpinski. Pour t

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1 Réponse

  • Réponse :

    Explications étape par étape :

    ■ tableau-résumé :

              rang --> 1   2   3    4    5     6     8     10      15       20

    nb triangles -> 1   3   9  27  65  131  379  835  3305  8475

    ■ on observe la formule explicite suivante :

      Tn = (4/3)n³ - 6n² + (32/3)n - 5

    ■ formule par récurrence :

      Tn+1 = (4/3)(n+1)³ - 6(n+1)² + (32/3)(n+1) - 5

              = (4/3)(n³ + 3n² + 3n +1) - 6(n² + 2n + 1) + (32/3)(n+1) - 5

              = (4/3)n³  + 4n² + 4n + (4/3) - 6n² - 12n - 6 + (32/3)n + (32/3) - 5

              = (4/3)n³ - 6n² + (32/3)n - 5 + 4n² - 8n + 6

     Tn+1 = Tn + 4n² - 8n + 6 .

              vérif avec T6 :

              T6 = T5 + 4*5² - 8*5 + 6

                   = 65 + 100 - 40 + 6

                   = 131 triangles !

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