S’il vous plaît je n’arrive pas On appelle nombre d'or et on appelle ø l'unique solution positive de x²= x + 1 1) Donner la valeur exacte et la valeur approchée

bjr

  appelle Φ l'unique solution positive de x² = x + 1

1) Donner la valeur exacte et la valeur approchée à 10^-3 de Φ

 • racines du trinôme  x² = x + 1

     x² - x - 1 = 0

Δ = b²− 4ac = (-1)² - 4*1*(-1) = 1 + 4 = 5  ;    5 > 0

il y a deux racines

x1 = (1 + √5)/2        et       x2 = (1 - √5)/2

                                           x2 < 0

la seule solution positive de cette équation est (1 + √5)/2

valeur exacte du nombre d'or

Φ = (1 + √5)/2

valeur approchée à 10⁻³ près           [  (1 + √5)/2 = 1,61803398875....  ]

Φ = 1,618

2) Exprimer Φ² en fonction de Φ et 1

Φ est solution de l'équation x² - x - 1 = 0

d'où

Φ² - Φ - 1 = 0

Φ² = Φ + 1

3) Exprimer Φ³ en fonction de Φ et 1

Φ³ = Φ² * Φ

   = (Φ + 1) * Φ

   = Φ² + Φ  

    = (Φ + 1) + Φ

    = 2Φ + 1

4) Conjecturer Φ²⁰²¹ en fonction de Φ et 1

calculons Φ⁴                                   calculons Φ⁵

Φ⁴ = Φ³ * Φ                                         Φ⁵ =  Φ⁴ * Φ                                    

    = (2Φ + 1) * Φ                                        = (3Φ + 2) * Φ

    = 2Φ² + Φ                                             = 3Φ² + 2Φ

   = 2(Φ + 1) + Φ                                         = 3(Φ  + 1) + 2Φ

  = 3Φ + 2                                                  5Φ  + 3

on a trouvé  

Φ² = Φ + 1

Φ³ = 2Φ + 1  

Φ⁴ = 3Φ + 2

Φ⁵ = 5Φ + 3

           on observe que

                        Φ⁴ =  Φ² + Φ³

                        Φ⁵ = Φ³ + Φ⁴          somme des deux qui précèdent

Φ²⁰²¹ =  Φ²⁰¹⁹ + Φ²⁰²⁰

désolée, je ne sais pas aller plus loin