Bonjour pourriez-vous m’aider juste pour l’exercice 2 et 3 s’il vous plaît ?? Bonne journée (c’est les nombres complexes ) merci d’avance

Réponse :

exo 1 :

l' équation proposée admet trois solutions :

   Z1 = 1

   Z2 = -1 - 2i

   Z3 = -1 + 2i

Explications étape par étape :

■ exo 1 :   Z² - 2 Z* = -1

■ soit   Z = a + ib

  on doit donc résoudre :

             (a + ib)² - 2(a - ib) + 1 = 0

   a² - b² + 2iab - 2a + 2ib + 1 = 0

   a² - b² - 2a + 1 + 2iab + 2ib = 0

      a² - b² - 2a + 1 + 2ib(a+1) = 0

   on doit donc avoir 2b(a+1) = 0

   ce qui donne b = 0   ou   a = -1 .

■ cas b = 0 :

   a² - 2a + 1 = 0 donne (a-1)² = 0 donc a = 1 .  

■ cas a = -1 :

   1 - b² + 2 + 1 = 0 donne 4 - b² = 0 donc b = -2   ou   b = 2 .

■ conclusion :

  l' équation proposée admet trois solutions :

   Z1 = 1

   Z2 = -1 - 2i

   Z3 = -1 + 2i = 2i - 1

■ vérif avec Z3 :

   (2i - 1)² - 2(-2i - 1) = -4 - 4i + 1 + 4i + 2 = -1 vérifié !