etudier la variation de la fonction f définie par : f:x --> x² + 2x + 3 / 2x² - 3x - 2

On cherche les racines du polynôme : 2x²-3x-2

2 est une racine évidente car 2(2²)-6-2 = 0

On peut alors factoriser par x-2.

Et 2x²-3x-2 = (x-2)(2x+1)

Qui s'annule pour x = 2 et x = -1/2.

Soit x dans R\{-1/2 ; 2}

f est dérivable sur cet ensemble et on a :

f'(x) = ((2x+2)(2x²-3x-2)-(x²+2x+3)(4x-3)) / ( 2x²-3x-2)² ( formule de la dérivée d'un quotient )

f'(x) est du signe du numérateur puisque le dénominateur est toujours positif.

Au final, f sera croissante si (2x+2)(2x²-3x-2)-(x²+2x+3)(4x-3) est positif et décroissante sinon.

Il suffit à présent de déterminer le signe de ce numérateur sur R\{-1/2 ; 2}.

Je te laisse finir ;)

FIN