Bonjour, Je n’arrive pas à faire l’exos 4 qui peut m’aider svp? Merci bcp

Réponse :

ex4

∀n ∈ IN ; Un = 4 - 1/(n+1)

1)     n       0          1            2           3           4             5          

     Un      3         3.5     ≈3.66       3.75      3.8         ≈3.83

pour tout entier naturel n : la suite (Un) est croissante et majorée par 4

2)    Un ≥ 3.95   ⇔ 4 - 1/(n+1) ≥ 3.95  ⇔ 4 - 3.95 ≥ 1/(n+1)

⇔ 0.05 ≥ 1/(n+ 1)  ⇔ 0.05(n+1) ≥ 1   ⇔ 0.05 n + 0.05 ≥ 1

⇔ 0.05 n ≥ 0.95   ⇔ n ≥ 0.95/0.05  ⇔ n ≥ 19

donc c'est à partir du rang  n = 19

3) démontrer que (Un) est croissante  sur IN

       Un+1 - Un = 4 - 1/(n+2) - (4 - 1/(n+1)

                        = 4  - 1/(n +2) - 4 + 1/(n+1)

                        = - 1/(n+2) + 1/(n+1)

                        = (- (n+1) + n + 2)/(n+2)(n+1)

                        = (- n - 1 + n + 2)/(n+2)(n+1)

                        = 1/ (n+2)(n+1)   or    (n+2)(n+1) ≥ 0   et  1 > 0    

donc  1/ (n+2)(n+1)  ≥ 0   donc   Un+1 - Un ≥ 0  ⇒ (Un) est croissante sur IN

4) (Un) est majorée par 4   ⇔  Un ≤ 4

Un ≤ 4  ⇔ Un - 4 ≤ 0 ; étudions le signe de Un - 4

Un - 4  = 4 - 1/(n+1) - 4  = - 1/(n+1)    or  n+1 ≥ 0  et  - 1 < 0

donc  - 1/(n+1) ≤ 0   ⇔ Un - 4 ≤ 0   donc  (Un) est majorée par 4    

Explications étape par étape :