Cet exercice sur les suites a une logique qui m'échappe, une correction m'aiderai beaucoup merci d'avance

Bonjour,

Dans la suite, on considère n un  entier naturel >= 1

1a ) D1 = 1 un déplacement pour un seul disque

D2 = 3 On déplace le premier disque sur une tige, le deuxième sur l'autre tige, puis on ramène le premier sur le deuxième

D3 = 7 On s'occupe uniquement des 2 premiers disques (3 déplacements) puis le 3ème disque( 1 déplacement), puis re les 2 disques(3 déplacements)

b) En suivant le même principe :

D4 = 15 On s'occupe des 3 premiers disques (7 déplacements), puis du 4ème (1 seul déplacement), puis re les 3 disques (7 déplacements)

2. On remarque que Dn+1 = 2Dn + 1

3. On conjecture Dn = [tex]2^{n} - 1[/tex]

Pour n=1, D1 = 2 - 1 = 1 (c'est vrai) initialisation.

On suppose que Dn est vraie, c à d : Dn = [tex]2^{n} - 1[/tex]

On a Dn+1 = 2Dn + 1 = 2*( [tex]2^{n} - 1[/tex]) + 1 = [tex]2^{n+1}[/tex] - 2 + 1 = [tex]2^{n+1}[/tex] - 1 (hérédité)

Donc par récurrence, on vient de démontrer que pour tout n entier naturel >=1, Dn = [tex]2^{n} - 1[/tex]

4. Pour 80 étages, il faut calculer D80 = [tex]2^{80}-1[/tex] = 1 208 925 819 614 629 174 706 175 secondes

soit quelque chose de l'ordre de 38 334 786 milliards d'années